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LA MATEMATICA E LA SUA BELLEZZA

(L’esponenziale complesso, la logica, l’universo, la bellezza e quant’altro…)

Ogni tanto, fra i matematici, qualcuno organizza sondaggi su quale sia la formula più bella. Quasi sempre le vincitrice è quella famosa di Eulero. Essa usa i numeri complessi per collegare le due costanti “π” (pi-greco) ed “e” (numero di Nepero). Eccola nella sua struttura originaria:

e= -1

E’ noto quanto sia estremamente importante in quella branca della matematica detta “analisi complessa”. Tramite questa è possibile:

  • Elaborare metodi di calcolo che presentano una maggiore utilità ed efficienza rispetto all’analisi reale.
  • Sviluppare teorie fisiche in cui le grandezze sono connesse a funzioni complesse o analitiche.

Dietro la sua apparente semplicità, nasconde concetti di fondamentale importanza per tutte le scienze.

Si racconta che Gauss, considerato il più grande matematico di tutti i tempi, parlando di questa ai suoi allievi come la più bella identità, abbia affermato: “ se il suo significato non vi è immediatamente chiaro, allora non sarete mai un matematico di prima classe “.

Purtroppo, non c’è un modo semplice per spiegare perché la formula di Eulero è vera. Una spiegazione esauriente richiede circa due anni di studi universitari di matematica.

L’espressione e= –1  nota come “identità di Eulero” deriva dalla definizione di “esponenziale complesso” π

ez := ex(cosy+iseny)   Il simbolo := sta per “uguale, per definizione, a”

Con (z=x+iy)ϵC (insieme dei numeri complessi). In particolare se x=0    (e0 = 1) la “formula di Eulero” diventa

eiy = cosy+iseny

Dalla quale l’identità ponendo y = π

Nella variante

e= -1 ovvero e+1=0

È stata definita da Richard Feynman, padre dell’elettrodinamica quantistica e premio nobel per la fisica nel 1965, come la “formula più straordinaria”. Così scritta evidenzia ancor di più la sua “bellezza” nel collegare tra loro le cinque costanti più importanti: il numeri 0 (elemento neutro della somma), il numero “1” ( elemento neutro del prodotto). Lo zero e l’uno sono parte essenziale della costruzione assiomatica dei numeri naturali dovuti a Peano e , in ultima analisi, di tutta l’aritmetica. I numeri irrazionali ””ed “e” (detti “ trascendenti” in quanto non soluzioni di equazioni algebriche) nonché l’unità immaginaria “i” 8 il cui quadrato è uguale a ”-1”.  Per il profano la matematica è uno “strano” ed “astratto” mondo di “orrendi tecnicismi”. Appare piena di simboli. Un’arte oscura. Tutto questo rende quasi impossibile ogni tipo di discorso estetico.

Cosa si intende, allora per bellezza in matematica? Davvero possiamo dire che certe forme matematiche sono, intrinsecamente, più belle delle altre? Non sembri strano, ma la bellezza è sempre stata una buona guida scientifica. Molti (per tutti il nostro contemporaneo Roger Penrose) hanno dichiarato di aver avuto “l’ispirazione” da una sorta di contatto con un regno platonico di forme estetiche.

Paul Dirac, uno dei più grandi fisici teorici del ‘900, premio Nobel nel 1933 per i suoi contributi alla meccanica quantistica pur essendo un convinto positivista, affermò: “ per le nostre equazioni la bellezza è più importante dell’accordo con gli esperimenti”. Per esigenze estetiche Dirac costruì un’equazione dell’elettrone matematicamente più elegante che, in seguito, portò alla scoperta dell’antimateria.

E’ un mistero il perché  ciò che piace per l’eleganza, la semplicità risulti anche reale. Le cose stanno come noi le pensiamo! Questo non solo è bello, è straordinario! Per un matematico una formula rappresenta molto di più dei simboli che vi compaiono. Esprime legami fra grandezze dedotti attraverso il semplice esercizio della ragione. Il successo del metodo scientifico nel dischiudere i segreti della natura è così abbagliante da accecarci con il miracolo più grande di tutti: “la scienza funziona”. Il fisico Eugene Wigner parla della “irragionevole efficacia nella scienza della natura”